【旅順工科大學】二重根号，どうやって積分する？【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月10日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
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・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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今回は，昭和7年（1932年）の旅順の入試問題。
根号が二重にかかっている関数の積分をしていきます。
見るからに面倒な形をしており，積分の方針を立てるのが結構難しいです。

ただ，x + √(x^2 + a) の形をしているのがポイントで，これを利用して変数変換していきます。
x + √(x^2 + a) = y とおくタイプの置換は，√(x^2 + a) の形が’登場する積分で頻出ですね。
誘導付きで出題されることが多いですが，難関大の理系受験生は覚えておきたいところです。

最初に根号の中身を文字でおきましたが，2 つ目に紹介する解法では被積分関数全体を文字でおいてみました。
こんな方法でうまくいく積分があるのは面白いですね！

★訂正
問題とは直接関係ありませんが，画面右上に表示されている年度の大正 7 年は誤りで，昭和 7 年が正しいです。ごめんなさい！
ご指摘くださった方，ありがとうございます。

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＜目次＞
00:00 解法① 昭和7年 (1932年) の旅順工科大入試
00:18 解法① 積分の方針
01:47 解法① 置換積分の準備
03:54 解法① √(x^2 + 2) を y で表す
07:01 解法① y の積分を実行
07:47 解法① y を x に直す（答え）
09:31 解法① まとめ
11:19 解法② 被積分関数全体を置換
13:35 解法② z を x に直す
15:21 解法② z の積分を実行 → x に戻す
16:12 解法② まとめ
18:27 おわりに