【京大2016】「強い条件」は何だろう？【方程式・複素数】

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公開日: 2021年6月23日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2016年の京大理系数学より，二次方程式の複素数解に関する問題をピックアップしました。
複素数係数の 2 次式 f(x) = x^2 + ax + b について
(イ) f(x^3) が f(x) で割り切れる
(ロ) a, b の少なくとも一方は虚数（実数でない）
が成り立っているときに，f(x) として考えられるものを全て求めるというものです。

条件 (ロ) は，係数の片方が実数でないということしか述べていないので，かなり弱い条件です。
まずは (イ) を使うことになります。
f(x^3) が f(x) で割り切れるということから，2 次方程式 f(x) = 0 の解の 3 乗もまた f(x) = 0 の解になっていることに気づけるかどうかが最初の山場です。
言われてみれば当たり前なのですが，案外見落としやすいように思います。

解の 3 乗も解になっていることがわかったら，あとはもとの解と 3 乗した解の対応づけによって場合分けし，f(x) を求めていくだけです。
途中からはパズルのような問題になるので，解いていて楽しいかもしれませんね。

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＜目次＞
00:00 2016年 京大 理系数学 [6]
00:44 条件 (イ) からいえること
05:28 解の対応づけで場合分け
07:17 [1] f(x) = 0 が重解をもつとき
10:05 [2] f(x) = 0 が重解をもたないとき
13:43 [2-1] α^3 = α, β^3 = β のとき
15:35 [2-2] α^3 = β, β^3 = α のとき
27:52 [2-3} α^3 = α, β^3 = α のとき
33:36 答えと解法のまとめ
37:19 学習上のアドバイス
38:07 宿題：割り算を実行する方法
39:15 おわりに