【東大2014】2 次関数の値域から領域を求める【方程式・領域】

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公開日: 2021年7月07日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2014年の東大理系数学より，線分の通過領域の問題をピックアップ。
前回同様，領域をいわゆる順像法で求めます。
線分の方程式を求め，x 座標を s で固定することで，y 座標をあるパラメータの 2 次関数と捉えます。
そのその値域を求めることで，各 s に対し点 (s, t) が D に属するための t の範囲を s で表し，領域 D を求めます。

直線ではなく線分なのが面倒に見えますが，一旦直線の通過領域を求め，最後に「 y = (√3)x, y = -(√3)x のグラフより上」であるという条件を課せば OK です。
この条件を 2 次関数の定義域に落とし込んでもいいのですが，場合分けがより複雑になってしまうので，動画で紹介した方法の方がシンプルだと僕は思っています，

こうした領域問題は，論理的思考力が問われ，とにかく地道な議論が求められるため，苦手とする受験生が多い印象です。
一方で差がつきやすい問題ですし，飛躍的な思考が求められるわけではないので，しっかり対策すれば他の受験生と差をつけられることでしょう。

なお，しっかり議論して答えを出した後に，その答えが妥当かどうかを見た目で判断するのは大切なことです。
感覚的な処理は，答案には持ち込まず，答えの妥当性のチェックに役立てるのが賢明ですね。

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＜目次＞
00:00 2014年 東大 理系数学 [6]
00:54 問題設定の図示
02:55 方針：直線で考える → カット
05:17 座標を文字でおく＆直線の方程式
08:22 通過領域：x 座標ごとの値域を調べる
10:47 補足：定義域に制限を加える方法
12:44 値域の調べ方：場合分けが必要
13:08 (i) 頂点が定義域内にある場合
16:26 (ii) 頂点が定義域内にない場合
18:08 (1) の答え（値域）
18:51 (1) の解法のまとめ
20:24 領域 D を図示する方針
21:04 放物線と直線が接するかどうか
22:49 境界線の図示
24:15 領域の図示
25:31 (2) の答えと解法のまとめ
27:43 学習者へのアドバイス
29:15 おわりに